Archivo de la categoría: matematicas

Matemáticas

ALGEBRA

PROBLEMAS DE ECUACIONES

En nuestra vida habitual se suelen presentar diversos casos en los que se nos presentan una gran cantidad de datos con la intención de que podamos deducir una información a partir de ellos.

Cuando los datos que se nos proporcionan son cantidades, nos encontramos con una ecuación. Las ecuaciones cuentan con tres partes fundamentales:

a) el miembros izquierdo (primer miembro).

b) el miembro izquierdo (segundo miembro).

c) la incógnita.

d) los términos (son tanto los signos numéricos como las incógnitas).

Por ley, el miembro izquierdo es igual al miembro derecho. Aunque generalmente están expresados de diferente manera, el valor numérico de cada miembro es el mismo. Veamos el siguiente ejemplo:

2x + 6 = x + 8

En el caso de la expresión anterior diremos que “2x + 6” es el primer miembro, “x+ 8” es el segundo miembro y el signo “=” significa “es igual a”. A los valores 2x, 6, x y 8; generalmente se les denomina términos. El caso del término “2x” debe ser visto con cuidado ya que es un producto: la incognita “x” está multiplicada por 2.

La incógnita es un valor que no conocemos y que es necesario determinar, y para ellos se debe “despejar” la incógnita. El despeje consiste en una serie de operaciones matemáticas que se aplica a la ecuación con el fin de que la incógnita quede “sola” en cualquiera de los miembros de la ecuación. Para poder realizar un despeje es necesario mover todos los términos conocidos de la ecuación a uno de los miembros de la ecuación, y todos los términos que contengan incógnitas al miembro restante. Es importante saber que al mover un término desde un miembro de la ecuación al otro, pasa efectuando la operación contraria. Es decir, si el término está en el primer miembro de la ecuación restando y deseas pasarlo al segundo miembro, debes pasarlo sumando. En el caso de que al terminar de despejar la incógnita, el término quede expresado en forma de producto, ya sea 2x, 10x, 15x o algo por el estilo, simplemente se deja la incógnita en el miembro en que esté el número que la estaba multiplicando se pasa al otro miembro dividiendo.

Veamos algunos ejemplos.

Despeje la incógnita de la siguiente ecuación:

8x + 1 = 6x + 11

Solución

Lo primero que debemos hacer es colocar los términos que contengan incógnitas en un mismo miembro de la ecuación, y los términos que no contengan incógnita en el otro miembro de la ecuación. Empecemos colocando los términos con incógnitas en el miembro izquierdo de la ecuación. En este caso, debemos “pasar” el término 6x al lado izquierdo de la ecuación, pero como esta “sumando” en el miembro derecho, debe “pasar” al miembro izquierdo “restando”. Es decir:

8x + 1 – 6x = 11

Observe que ahora el término 6x está en el miembro izquierdo de la ecuación pero restando. Ahora procedemos a pasar el término “1”, que está ubicado en el miembro izquierdo de la ecuación al miembro derecho. Pero como ese término esta sumando debe pasar restando. Efectuando la operación indicada tenemos:

8x – 6x = 11 – 1

Ahora debemos efectuar las operaciones indicadas en cada miembro. En el caso del miembro izquierdo tenemos que 8x – 6x = 2x. En el caso del miembro derecho tenemos que 11 – 1 = 10. Entonces:

2x = 10

Bien, observemos ahora que en el lado izquierdo de la ecuación tenemos la incógnita dentro del termino “2x” que es un producto. Se obtiene el valor de la incógnita pasando el valor numérico “2” al segundo miembro de la ecuación. Pero como está multiplicando, pasará efectuando la operación contraria, es decir, dividiendo. Entonces:

x = 10/2

Como 10/2 es igual a 5, entonces:

x = 5

Luego de terminar todo este proceso hemos podido averiguar el valor de x que es 5.

problemas (8)

ALGEBRA

PROBLEMAS DE ECUACIONES

En nuestra vida habitual se suelen presentar diversos casos en los que se nos presentan una gran cantidad de datos con la intención de que podamos deducir una información a partir de ellos. Cuando los datos que se nos proporcionan son cantidades, nos encontramos con una ecuación. Las ecuaciones cuentan con tres partes fundamentales: a) el miembros izquierdo (primer miembro). b) el miembro izquierdo (segundo miembro). c) la incógnita. d) los términos (son tanto los signos numéricos como las incógnitas).

A continuación realizaremos una series de ejercicios matemáticos en el que se necesita aplicar los procedimientos de despeje para su solución:

En su automovil un padre ha recorrido 41 kilómetros de carretera, mientras que su hijo sólo ha logrado recorrer en su automovil 9 kilómetros. ¿Cuál es el mismo número de kilómetros que deben recorrer ambos, para que la distancia que recorre el padre sea el triple de la que recorra el hijo?

Solución:

Digamos que x es el número de kilómetros necesario para que la distancia que recorra el padre sea el triple de la que recorra el hijo en sus automoviles.

Luego

(x + 9): Distancia recorrida por el hijo en su automovil.

(x + 41): Distancia recorrida por el padre en su automovil y que es el triple de la recorrida por el hijo

Entonces:

 

3(x + 9) = x + 41

3x + 27 = x + 41

3x – x + 27 = 41

3x – x = 41 – 27

2x = 14

x = 14/2

 

x = 7

 

Luego tanto el padre como el hijo deben recorrer 7 kilómetros para que la distancia recorrida por el padre sea el triple de la que recorra el hijo.

 


El técnico "A" ha reparado el triple de televisores que el técnico "B". Cuando ambos hayan reparado 10 televisores más, el técnico "A" habrá reparado sólo el doble de los televisores que repare el técnico "B". ¿Cuántos televisores repararon los técnicos de televisión inicialmente?

Solución:

Sea x el número de televisores reparados por el técnico "A". Entonces el técnico "B" habrá reparado 3x.

Televisores reparados por técnico "B" : x

Televisores reparados por técnico "A": 3x

Si ambos técnicos reparan 10 televisores más, el técnico "A" habrá reparado el doble de televisores que el técnico "B". Luego:

Televisores reparados por técnico "B" más 10: x + 10

Televisores reparados por técnico "A" más 10: 3x + 10

Entonces:

3x + 10 = 2(x + 10)

3x + 10 = 2x + 20

3x – 2x + 10 = 20

3x – 2x = 20 – 10

3x – 2x = 10

 

x = 10

Luego

El técnico "B" reparó 10 televisores y el técnico "A" reparo 3x = 3 · 10 = 30 televisores


El carnicero "A" tiene el cuádruple de perniles que el carnicero "B". Si ambos carniceros venden 3 perniles, el carnicero "A" tendrá el quintuple de perniles que el carnicero "B". ¿Cuántos perniles tenía inicialmente cada carnicero?

Solución:

Asumamos que el carnicero "B" tiene x perniles. Entonces el carnicero "A" tendrá 3x perniles. Si el carnicero "B" vende 3 perniles le quedarán (x – 3) perniles, y si el carnicero "A" vende 3 perniles entonces le quedarán (3x – 3) perniles.

Entonces:

 

3x – 3 = 5(x – 3)

3x – 3 = 5x – 5 · 3

3x – 3 = 5x – 15

3x + 15 – 3 = 5x

3x + 12 = 5x

3x + 12 = 5x

12 = 5x – 3x

12 = 2x

12/2 = x

6 = x

 

x = 5

Luego

El carnicero "B" tiene 6 perniles y el carnicero "A" tiene 3x = 3 · 6 = 18 perniles


La cantidad de casas pintadas por un pintor es el doble que la de su socio, pero si cada cada uno de los dos pintores hubiera pintado 20 casas menos, el pintor hubiera pintado el cuadruple de casas que su socio. ¿Cuántas casas pintó cada pintor?

Solución:

Si asumimos que el socio del pintor pinto x casas, entoces el pintor pinto 2x casas. Si cada uno hubiera pintado 20 casas menos, entonces el socio habría pintado (x – 20) casas y el pintor (2x – 20) casas.

Luego:

(2x – 20) = 4(x – 20)

2x – 20 = 4x – 5 · 20

2x – 20 = 4x – 100

2x + 100 – 20 = 4x

2x + 80 =4x

80 = 4x – 2x

80 = 2x

80/2 = x

40 = x

 

x = 40

Luego

El socio pintó 40 casas y el pintor pinto 2x = 2 · 40 = 80 casas


Hace 5 años la edad de un padre era el triplo de la de su hijo y dentro de 5 años será el doble ¿Cuáles son sus edades?

Solución:

La edad actual del padre será "y", y diremos que la actual del hijo será "y"

Entonces hace 5 años:

Edad del padre: x – 5

Edad del hijo y – 5

Pero hace 5 años la edad del padre era el triplo que la del hijo.

Entonces:

(x – 5) = 3(y – 5)

x – 5 = 3y – 3 · 5

x – 5 = 3y – 15

x = 3y – 15 + 5

x = 3y – 10

Dentro de 5 años tenemos

Edad del padre: x + 5

Edad del hijo: y + 5

Pero dentro de 5 años, la edad del padre será el doble que la del hijo, luego

(x + 5) = 2 (y + 5)

(x + 5) = 2y + 5 . 2

(x + 5) = 2y + 10

x + 5 = 2y + 10

x = = 2y + 10 – 5

x = 2y + 5

Igualamos ambas ecuaciones po la variable "x"

3y – 10 = 2y + 5

3y – 2y – 10 = 5

3y – 2y = 5 + 10

y = 15

Sustituyendo el valor de y en cualquiera de las ecuaciones

x = 3y – 10

x = 3 · 15 – 10

x = 45 – 10

x = 35

Luego

la edad del padre es 35 años y la edad del hijo es 15 años

problemas (7)

ALGEBRA

PROBLEMAS DE ECUACIONES

En nuestra vida habitual se suelen presentar diversos casos en los que se nos presentan una gran cantidad de datos con la intención de que podamos deducir una información a partir de ellos. Cuando los datos que se nos proporcionan son cantidades, nos encontramos con una ecuación. Las ecuaciones cuentan con tres partes fundamentales: a) el miembros izquierdo (primer miembro). b) el miembro izquierdo (segundo miembro). c) la incógnita. d) los términos (son tanto los signos numéricos como las incógnitas).

A continuación realizaremos una series de ejercicios matemáticos en el que se necesita aplicar los procedimientos de despeje para su solución:

La suma de cuatro número enteros consecutivos es igual a 2. ¿Cuál es el mayor de los cuatros números?

Solución:

En este problema no se señala ninguna condición para los números. Siplemente, son consecutivos. Si decimos que x es el primero, x + 1 sería el segundo, x + 2 sería el tercero y x + 3 sería el cuarto y el mayor de los números.

Luego:

Primer número x

Segundo número x + 1

Tercer número x + 2

Cuarto número x + 3

Entonces:

 

x + (x + 1) + (x + 2) + ( x + 3) = 2

x + x + 1 + x + 2 + x + 3 = 2

4x + 6 = 2

4x = 2 – 6

4x = – 4

x = – 4/4

 

x = – 1

Luego:

Primer número es x = -1

Segundo número es x + 1 = – 1 + 1 = 0

Tercer número es x + 2 = – 1 + 2 = 1

Cuarto número es x + 3 = – 1 + 3 = 2

Entonces el número mayor es 2

 


Mary tiene en su depósito 4 veces la cantidad de gatos hidráulicos que tiene Laura en su depósito. Entre ambos depósitos, Laura y Mary tienen 45 gatos hidráulicos ¿Cuántos gatos hidráulicos hay en cada depósito?.

Solución:

Sea x la cantidad de gatos hidráulicos que hay en el depósito de Laura. Luego, en el depósito de Mary hay 4x gatos hidráulicos. Es decir:

Gatos hidráulicos de Laura: x

Gatos Hidráulicos de Mary: 4x

Entonces:

Luego:

x + 4x = 45

5x = 45

x = 45/ 9

 

x = 9

Luego

Laura tiene 9 Gatos Hidráulicos en su depósito

Mary tiene 4x = 4 · 9 = 36 Gatos Hidráulicos en su depósito


El edicificio de Beatriz tiene 15 oficinas más que el edificio de su prima Ana. Si ambos edificios tuvieran 6 oficinas menos, la cantidad de oficinas del edificio de Beatriz sería 6 veces la cantidad de oficinas del edificio de su prima Ana.

Solución:

Sea x la cantidad de oficinas del edificio de Ana (x + 15) sería la cantidad de oficinas del edificio de Beatriz. Si ambos edificios tuvieran seis oficinas menos, Ana tendría (x – 6) oficinas y Beatriz tendría ((x + 15) – 6) oficinas. Luego:

 

((x + 15) – 6) = 6(x – 6)

(x + 15) – = 6x – 6 · 6

x + 15 – 6 = 6x – 36

x + 9 = 6x – 36

x + 9 + 36 = 6x

9 + 36 = 6x – x

9 + 36 = 5x

45 = 5x

45/5 = x

9 = x

 

x = 9

Luego

Ana tiene 9 oficinas en su edificio

Beatriz tiene x + 15 = 9 + 15 = 24 oficinas en su edificio


Nelly pesa 24 kilos más que Ana. Determinar el peso de cada una sabiendo que si Ana y Nelly subieran 8 kilos cada una, el peso de Nelly sería el doble del peso de Ana.

Solución:

Sea x el peso de Ana, entonces el peso de Nelly es (x + 24). Si Ana subiera 8 kilos su peso sería (x + 8) y si Nelly subiera 8 kilo su peso sería ((x + 24) + 8). Luego:

(x + 24) + 8 = 2(x + 8)

x + 24 + 8 = 2x + 2 · 8

x + 24 + 6 = 2x + 16

x + 32 = 2x + 16

x + 32 – 16 = 2x

x + 16 = 2x

16 = 2x – x

16 = x

 

x = 16

Luego

El peso de Ana es 16 kilos

El peso de Nelly es (x + 24) = 16 + 24 = 40 kilos


La cantidad de toneladas de maíz que cosechó José es el doble que la que cosechó Juan. Si cada uno hubiera cosechado 6 toneladas de maíz, la cantidad de maíz consechada por José hubiera sido tres veces mayor que la de Juan ¿Cuántas toneladas de maíz cosecharon cada uno?

Solución:

Si asumimos que Juan cosechó x toneladas de maíz.

Entonces José cosechó 2 x toneladas de maíz.

Luego:

2x – 6 = 3(x – 6)

2x – 6 = 3x – 3 · 6

2x – 6 = – 18

18 – 6= 3x – 2x

12 = x

 

x = 12

 

Luego Juan cosechó 12 toneladas de maíz y José cosechó 2x = 12 · 12 = 24 toneladas de maíz