Matemáticas

ALGEBRA

PROBLEMAS DE ECUACIONES

En nuestra vida habitual se suelen presentar diversos casos en los que se nos presentan una gran cantidad de datos con la intención de que podamos deducir una información a partir de ellos.

Cuando los datos que se nos proporcionan son cantidades, nos encontramos con una ecuación. Las ecuaciones cuentan con tres partes fundamentales:

a) el miembros izquierdo (primer miembro).

b) el miembro izquierdo (segundo miembro).

c) la incógnita.

d) los términos (son tanto los signos numéricos como las incógnitas).

Por ley, el miembro izquierdo es igual al miembro derecho. Aunque generalmente están expresados de diferente manera, el valor numérico de cada miembro es el mismo. Veamos el siguiente ejemplo:

2x + 6 = x + 8

En el caso de la expresión anterior diremos que “2x + 6” es el primer miembro, “x+ 8” es el segundo miembro y el signo “=” significa “es igual a”. A los valores 2x, 6, x y 8; generalmente se les denomina términos. El caso del término “2x” debe ser visto con cuidado ya que es un producto: la incognita “x” está multiplicada por 2.

La incógnita es un valor que no conocemos y que es necesario determinar, y para ellos se debe “despejar” la incógnita. El despeje consiste en una serie de operaciones matemáticas que se aplica a la ecuación con el fin de que la incógnita quede “sola” en cualquiera de los miembros de la ecuación. Para poder realizar un despeje es necesario mover todos los términos conocidos de la ecuación a uno de los miembros de la ecuación, y todos los términos que contengan incógnitas al miembro restante. Es importante saber que al mover un término desde un miembro de la ecuación al otro, pasa efectuando la operación contraria. Es decir, si el término está en el primer miembro de la ecuación restando y deseas pasarlo al segundo miembro, debes pasarlo sumando. En el caso de que al terminar de despejar la incógnita, el término quede expresado en forma de producto, ya sea 2x, 10x, 15x o algo por el estilo, simplemente se deja la incógnita en el miembro en que esté el número que la estaba multiplicando se pasa al otro miembro dividiendo.

Veamos algunos ejemplos.

Despeje la incógnita de la siguiente ecuación:

8x + 1 = 6x + 11

Solución

Lo primero que debemos hacer es colocar los términos que contengan incógnitas en un mismo miembro de la ecuación, y los términos que no contengan incógnita en el otro miembro de la ecuación. Empecemos colocando los términos con incógnitas en el miembro izquierdo de la ecuación. En este caso, debemos “pasar” el término 6x al lado izquierdo de la ecuación, pero como esta “sumando” en el miembro derecho, debe “pasar” al miembro izquierdo “restando”. Es decir:

8x + 1 – 6x = 11

Observe que ahora el término 6x está en el miembro izquierdo de la ecuación pero restando. Ahora procedemos a pasar el término “1”, que está ubicado en el miembro izquierdo de la ecuación al miembro derecho. Pero como ese término esta sumando debe pasar restando. Efectuando la operación indicada tenemos:

8x – 6x = 11 – 1

Ahora debemos efectuar las operaciones indicadas en cada miembro. En el caso del miembro izquierdo tenemos que 8x – 6x = 2x. En el caso del miembro derecho tenemos que 11 – 1 = 10. Entonces:

2x = 10

Bien, observemos ahora que en el lado izquierdo de la ecuación tenemos la incógnita dentro del termino “2x” que es un producto. Se obtiene el valor de la incógnita pasando el valor numérico “2” al segundo miembro de la ecuación. Pero como está multiplicando, pasará efectuando la operación contraria, es decir, dividiendo. Entonces:

x = 10/2

Como 10/2 es igual a 5, entonces:

x = 5

Luego de terminar todo este proceso hemos podido averiguar el valor de x que es 5.

problemas (8)

ALGEBRA

PROBLEMAS DE ECUACIONES

En nuestra vida habitual se suelen presentar diversos casos en los que se nos presentan una gran cantidad de datos con la intención de que podamos deducir una información a partir de ellos. Cuando los datos que se nos proporcionan son cantidades, nos encontramos con una ecuación. Las ecuaciones cuentan con tres partes fundamentales: a) el miembros izquierdo (primer miembro). b) el miembro izquierdo (segundo miembro). c) la incógnita. d) los términos (son tanto los signos numéricos como las incógnitas).

A continuación realizaremos una series de ejercicios matemáticos en el que se necesita aplicar los procedimientos de despeje para su solución:

En su automovil un padre ha recorrido 41 kilómetros de carretera, mientras que su hijo sólo ha logrado recorrer en su automovil 9 kilómetros. ¿Cuál es el mismo número de kilómetros que deben recorrer ambos, para que la distancia que recorre el padre sea el triple de la que recorra el hijo?

Solución:

Digamos que x es el número de kilómetros necesario para que la distancia que recorra el padre sea el triple de la que recorra el hijo en sus automoviles.

Luego

(x + 9): Distancia recorrida por el hijo en su automovil.

(x + 41): Distancia recorrida por el padre en su automovil y que es el triple de la recorrida por el hijo

Entonces:

 

3(x + 9) = x + 41

3x + 27 = x + 41

3x – x + 27 = 41

3x – x = 41 – 27

2x = 14

x = 14/2

 

x = 7

 

Luego tanto el padre como el hijo deben recorrer 7 kilómetros para que la distancia recorrida por el padre sea el triple de la que recorra el hijo.

 


El técnico "A" ha reparado el triple de televisores que el técnico "B". Cuando ambos hayan reparado 10 televisores más, el técnico "A" habrá reparado sólo el doble de los televisores que repare el técnico "B". ¿Cuántos televisores repararon los técnicos de televisión inicialmente?

Solución:

Sea x el número de televisores reparados por el técnico "A". Entonces el técnico "B" habrá reparado 3x.

Televisores reparados por técnico "B" : x

Televisores reparados por técnico "A": 3x

Si ambos técnicos reparan 10 televisores más, el técnico "A" habrá reparado el doble de televisores que el técnico "B". Luego:

Televisores reparados por técnico "B" más 10: x + 10

Televisores reparados por técnico "A" más 10: 3x + 10

Entonces:

3x + 10 = 2(x + 10)

3x + 10 = 2x + 20

3x – 2x + 10 = 20

3x – 2x = 20 – 10

3x – 2x = 10

 

x = 10

Luego

El técnico "B" reparó 10 televisores y el técnico "A" reparo 3x = 3 · 10 = 30 televisores


El carnicero "A" tiene el cuádruple de perniles que el carnicero "B". Si ambos carniceros venden 3 perniles, el carnicero "A" tendrá el quintuple de perniles que el carnicero "B". ¿Cuántos perniles tenía inicialmente cada carnicero?

Solución:

Asumamos que el carnicero "B" tiene x perniles. Entonces el carnicero "A" tendrá 3x perniles. Si el carnicero "B" vende 3 perniles le quedarán (x – 3) perniles, y si el carnicero "A" vende 3 perniles entonces le quedarán (3x – 3) perniles.

Entonces:

 

3x – 3 = 5(x – 3)

3x – 3 = 5x – 5 · 3

3x – 3 = 5x – 15

3x + 15 – 3 = 5x

3x + 12 = 5x

3x + 12 = 5x

12 = 5x – 3x

12 = 2x

12/2 = x

6 = x

 

x = 5

Luego

El carnicero "B" tiene 6 perniles y el carnicero "A" tiene 3x = 3 · 6 = 18 perniles


La cantidad de casas pintadas por un pintor es el doble que la de su socio, pero si cada cada uno de los dos pintores hubiera pintado 20 casas menos, el pintor hubiera pintado el cuadruple de casas que su socio. ¿Cuántas casas pintó cada pintor?

Solución:

Si asumimos que el socio del pintor pinto x casas, entoces el pintor pinto 2x casas. Si cada uno hubiera pintado 20 casas menos, entonces el socio habría pintado (x – 20) casas y el pintor (2x – 20) casas.

Luego:

(2x – 20) = 4(x – 20)

2x – 20 = 4x – 5 · 20

2x – 20 = 4x – 100

2x + 100 – 20 = 4x

2x + 80 =4x

80 = 4x – 2x

80 = 2x

80/2 = x

40 = x

 

x = 40

Luego

El socio pintó 40 casas y el pintor pinto 2x = 2 · 40 = 80 casas


Hace 5 años la edad de un padre era el triplo de la de su hijo y dentro de 5 años será el doble ¿Cuáles son sus edades?

Solución:

La edad actual del padre será "y", y diremos que la actual del hijo será "y"

Entonces hace 5 años:

Edad del padre: x – 5

Edad del hijo y – 5

Pero hace 5 años la edad del padre era el triplo que la del hijo.

Entonces:

(x – 5) = 3(y – 5)

x – 5 = 3y – 3 · 5

x – 5 = 3y – 15

x = 3y – 15 + 5

x = 3y – 10

Dentro de 5 años tenemos

Edad del padre: x + 5

Edad del hijo: y + 5

Pero dentro de 5 años, la edad del padre será el doble que la del hijo, luego

(x + 5) = 2 (y + 5)

(x + 5) = 2y + 5 . 2

(x + 5) = 2y + 10

x + 5 = 2y + 10

x = = 2y + 10 – 5

x = 2y + 5

Igualamos ambas ecuaciones po la variable "x"

3y – 10 = 2y + 5

3y – 2y – 10 = 5

3y – 2y = 5 + 10

y = 15

Sustituyendo el valor de y en cualquiera de las ecuaciones

x = 3y – 10

x = 3 · 15 – 10

x = 45 – 10

x = 35

Luego

la edad del padre es 35 años y la edad del hijo es 15 años

problemas (7)

ALGEBRA

PROBLEMAS DE ECUACIONES

En nuestra vida habitual se suelen presentar diversos casos en los que se nos presentan una gran cantidad de datos con la intención de que podamos deducir una información a partir de ellos. Cuando los datos que se nos proporcionan son cantidades, nos encontramos con una ecuación. Las ecuaciones cuentan con tres partes fundamentales: a) el miembros izquierdo (primer miembro). b) el miembro izquierdo (segundo miembro). c) la incógnita. d) los términos (son tanto los signos numéricos como las incógnitas).

A continuación realizaremos una series de ejercicios matemáticos en el que se necesita aplicar los procedimientos de despeje para su solución:

La suma de cuatro número enteros consecutivos es igual a 2. ¿Cuál es el mayor de los cuatros números?

Solución:

En este problema no se señala ninguna condición para los números. Siplemente, son consecutivos. Si decimos que x es el primero, x + 1 sería el segundo, x + 2 sería el tercero y x + 3 sería el cuarto y el mayor de los números.

Luego:

Primer número x

Segundo número x + 1

Tercer número x + 2

Cuarto número x + 3

Entonces:

 

x + (x + 1) + (x + 2) + ( x + 3) = 2

x + x + 1 + x + 2 + x + 3 = 2

4x + 6 = 2

4x = 2 – 6

4x = – 4

x = – 4/4

 

x = – 1

Luego:

Primer número es x = -1

Segundo número es x + 1 = – 1 + 1 = 0

Tercer número es x + 2 = – 1 + 2 = 1

Cuarto número es x + 3 = – 1 + 3 = 2

Entonces el número mayor es 2

 


Mary tiene en su depósito 4 veces la cantidad de gatos hidráulicos que tiene Laura en su depósito. Entre ambos depósitos, Laura y Mary tienen 45 gatos hidráulicos ¿Cuántos gatos hidráulicos hay en cada depósito?.

Solución:

Sea x la cantidad de gatos hidráulicos que hay en el depósito de Laura. Luego, en el depósito de Mary hay 4x gatos hidráulicos. Es decir:

Gatos hidráulicos de Laura: x

Gatos Hidráulicos de Mary: 4x

Entonces:

Luego:

x + 4x = 45

5x = 45

x = 45/ 9

 

x = 9

Luego

Laura tiene 9 Gatos Hidráulicos en su depósito

Mary tiene 4x = 4 · 9 = 36 Gatos Hidráulicos en su depósito


El edicificio de Beatriz tiene 15 oficinas más que el edificio de su prima Ana. Si ambos edificios tuvieran 6 oficinas menos, la cantidad de oficinas del edificio de Beatriz sería 6 veces la cantidad de oficinas del edificio de su prima Ana.

Solución:

Sea x la cantidad de oficinas del edificio de Ana (x + 15) sería la cantidad de oficinas del edificio de Beatriz. Si ambos edificios tuvieran seis oficinas menos, Ana tendría (x – 6) oficinas y Beatriz tendría ((x + 15) – 6) oficinas. Luego:

 

((x + 15) – 6) = 6(x – 6)

(x + 15) – = 6x – 6 · 6

x + 15 – 6 = 6x – 36

x + 9 = 6x – 36

x + 9 + 36 = 6x

9 + 36 = 6x – x

9 + 36 = 5x

45 = 5x

45/5 = x

9 = x

 

x = 9

Luego

Ana tiene 9 oficinas en su edificio

Beatriz tiene x + 15 = 9 + 15 = 24 oficinas en su edificio


Nelly pesa 24 kilos más que Ana. Determinar el peso de cada una sabiendo que si Ana y Nelly subieran 8 kilos cada una, el peso de Nelly sería el doble del peso de Ana.

Solución:

Sea x el peso de Ana, entonces el peso de Nelly es (x + 24). Si Ana subiera 8 kilos su peso sería (x + 8) y si Nelly subiera 8 kilo su peso sería ((x + 24) + 8). Luego:

(x + 24) + 8 = 2(x + 8)

x + 24 + 8 = 2x + 2 · 8

x + 24 + 6 = 2x + 16

x + 32 = 2x + 16

x + 32 – 16 = 2x

x + 16 = 2x

16 = 2x – x

16 = x

 

x = 16

Luego

El peso de Ana es 16 kilos

El peso de Nelly es (x + 24) = 16 + 24 = 40 kilos


La cantidad de toneladas de maíz que cosechó José es el doble que la que cosechó Juan. Si cada uno hubiera cosechado 6 toneladas de maíz, la cantidad de maíz consechada por José hubiera sido tres veces mayor que la de Juan ¿Cuántas toneladas de maíz cosecharon cada uno?

Solución:

Si asumimos que Juan cosechó x toneladas de maíz.

Entonces José cosechó 2 x toneladas de maíz.

Luego:

2x – 6 = 3(x – 6)

2x – 6 = 3x – 3 · 6

2x – 6 = – 18

18 – 6= 3x – 2x

12 = x

 

x = 12

 

Luego Juan cosechó 12 toneladas de maíz y José cosechó 2x = 12 · 12 = 24 toneladas de maíz

problemas (6)

ALGEBRA

PROBLEMAS DE ECUACIONES

En nuestra vida habitual se suelen presentar diversos casos en los que se nos presentan una gran cantidad de datos con la intención de que podamos deducir una información a partir de ellos. Cuando los datos que se nos proporcionan son cantidades, nos encontramos con una ecuación. Las ecuaciones cuentan con tres partes fundamentales: a) el miembros izquierdo (primer miembro). b) el miembro izquierdo (segundo miembro). c) la incógnita. d) los términos (son tanto los signos numéricos como las incógnitas).

A continuación realizaremos una series de ejercicios matemáticos en el que se necesita aplicar los procedimientos de despeje para su solución:

Hallar el número de computadoras que hay en una empresa, sabiendo que la mitad del número de computadoras es igual a la sexta parte del número de computadoras más diez.

Solución:

Sea x el número de computadoras que existen en la empresa.

Luego

 

x/2 = x/6 + 10

x/2 = (x + 6 · 10)/6

x/2 = (x + 60)/6

6.x = 2 · (x + 60)

6x = 2x + (2 · 60)

6x = 2x + 120

6x – 2x = 120

4x = 120

x = 120/4

 

x = 30

 

En la empresa hay 30 computadoras

 


En una fábrica hay cierto número de ventiladores y otro número de extractores. La diferencia entre el número de ventiladores y el número de extractores es 20. Por otro lado, la suma del número de extractores más el número de ventiladores es 48. Hallar el número de ventiladores y el número de extractores.

Solución:

Sea "x" el número de ventiladores y "y" el número de extractores.

Luego:

x – y = 20 esto implica que x = 20 + y

Por otro lado

x + y = 48 esto implica que x = 48 – y

Igualando las dos ecuaciones a través de la variable "x" tenemos que:

 

20 + y = 48 – y

20 + y + y = 48

20 + 2y = 48

2y = 48 – 20

2y =28

y = 28/2

 

x = 14

Sustituyendo el valor de y en la ecuación x = 20 + y tenemos

x = 20 + y

x = 20 + 14

x = 34

Luego el número de ventiladores es 34 y el de extractores 14


Si al número de cierto grupo de resmas de papel se le suma 14, resulta un número que es tres veces mayor. ¿Cuántas resmas de papel hay en el grupo?

Solución:

Asumamos que el número de resmas de papel es x. Entonces:

 

x + 14 = 3x

14 = 3x – x

14 = 2x

14/2 = x

7 = x

 

x = 7

Luego

Luego, en el grupo hay 7 resmas de papel


Hay tres hoteles y en cada uno de esos hoteles hay un cierto número de turistas, sabemos que el número de turistas en cada hotel, es impar y que los números son consecutivos. Además, el total de los turistas en los tres hoteles es mayor en 5 unidades al doble del número de turistas que hay en el hotel que tiene más turistas. Indique cuantos turistas había por hotel

Solución:

Sean 2x + 1 el hotel con el menor número de turistas

2x + 3 el hotel que le sigue en número de turistas (impar consecutivo)

2x + 5 el hotel con el mayor númer de turistas.

Entonces:

(2x + 1) + (2x + 3) + (2x + 5) – 5 = 2 (2x + 5)

2x + 1 + 2x + 3 + 2x + 5 – 5 = 2 · 2x + 2 · 5

6x + 4 = 4x + 10

6x – 4x + 4 = 10

2x + 4 = 10

2x = 10 – 4

2x = 6

x = 6/2

 

x = 3

Luego

En los hoteles había

2(3) + 1 = 7 Turistas

2(3) + 3 = 9 Turistas

2(3) + 5 = 11 Turistas


Tres fábricas de ferrocarriles han construido trenes de tal manera que cada una ha fabricado un número par de trenes, pero consecutivos entre sí. Sabiendo que el número total de trenes construídos por las tres fábricas es de 54, señale cuantos trenes fabricó la fábrica que hizo el menor número de ferrocarriles.

Solución:

Digamos que una de las fábricas hizo 2x trenes, entonces las otras dos habrán fabricado (2x + 2) y (2x + 4) respectivamente, ya que los números de fabricados son pares y consecutivos entre sí

Luego:

 

2x + (2x + 2) + (2x + 4) = 54

2x + 2x + 2 + 2x + 4 = 54

6x + 6 = 54

6x = 54 – 6

6x = 48

x = 48/6

 

x = 8

Entonces:

Una fábrica hizo 2x = 2.(8) = 16 trenes.

Otra fábrica hizo 2x + 2 = 2.(8) + 2 = 18 trenes

La última fábrica hizo 2x + 4 = 2.(8) + 4 = 20 trenes

La fábrica que hizo el menor número de trenes construyó 16 trenes

problemas (5)

ALGEBRA

PROBLEMAS DE ECUACIONES

En nuestra vida habitual se suelen presentar diversos casos en los que se nos presentan una gran cantidad de datos con la intención de que podamos deducir una información a partir de ellos. Cuando los datos que se nos proporcionan son cantidades, nos encontramos con una ecuación. Las ecuaciones cuentan con tres partes fundamentales: a) el miembros izquierdo (primer miembro). b) el miembro izquierdo (segundo miembro). c) la incógnita. d) los términos (son tanto los signos numéricos como las incógnitas).

A continuación realizaremos una series de ejercicios matemáticos en el que se necesita aplicar los procedimientos de despeje para su solución:

Una cooperativa ganó 30000 bolívares en tres años. En el segundo año gano el doble de lo que habia ganado en el primer año, y en el tercer año gano tanto como en los dos años anteriores juntos. ¿Cuál fue la ganancia en cada año?

Solución:

Asumamos que la cooperativa ganó en el primer año x bolívares. Luego, en el segundo año ganó 2x. Por último, en el tercer año, la cooperativa ganó tanto como en los dos años anteriores. Es decir x + 2x = 3x. Eentonces

Ganancia de dinero en el primer año: x

Ganancia de dinero en el segundo año: 2x

Ganancia de dinero en el tercer año: 3x

Luego

 

x + 2x + 3x = 30000

6x = 30000

x = 30000/6

 

x = 5000

Entonces

La cooperativa ganó en el primer año 5000 bolivares

En el segundo año 2x = 2 · 5000 = 10000 bolivares

En el tercer año 3x = 3 · 5000 = 15000 bolivares

 


Hallar tres números consecutivos cuya suma sea 51

Solución:

Asumamos que el primer número sea x. Entonces el segundo número es x + 1 y el tercer número es x + 2

Luego:

x + (x + 1) + (x + 2) = 51

x + x + 1 + x + 2 = 51

3x + 3 = 51

3x + 3 = 51

3x = 51 – 3

3x = 48

x = 48/3

 

x = 16

Entonces

El primer número es 16

El segundo número es x + 1 = 16 + 1 = 17

El tercer número es x + 2 = 16 + 2 = 18


Tres hermanos A, B y C se tienen que repartir 35000 bolívares. El hermano B recibe el triple de lo que recibe el hermano A y el hermano C recibe el doble de lo que recibe el hermano B. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

Solución:

Sea x la cantidad de bolívares que recibe el hermano A, entonces el hermano B recibe 3x. Por tanto, el hermano C recibirá el doble de lo que recibe el hermano B, es decir 2.(3x) = 6x. Luego, la cantidad de bolívares que recibre el hermano es x, la cantidad de bolívares que recibre el hermano B es 3x la cantidad de bolívares que recibirá el hermano C es 6x.

Luego:

x + 3x + 6x = 35000

10x = 3500

x = 3500/10

 

x = 350

Luego

El hermano A recibe 350 Bolívares

El hermano B recibe 3x = 3 · 350 = 1050 bolivares

El hermano C recibe 6x = 6 · 350 = 2100 bolivares


En un taller hay 47 automoviles, unos de color azul y otros de color rojo. Hay 9 automoviles azules más que automoviles rojos¿Cuántos automoviles azules y cuántos automoviles rojos hay?

Solución:

Si asumimos que el número de automoviles rojos es x, entonces el número de automoviles azules es x + 9. Es decir:

Número de automoviles rojos : x

Número de automoviles azules: x + 9

Luego:

x + (x + 9) = 47

x + x + 9 = 47

2x + 9 = 47

2x = 47 – 9

2x = 38

x = 38/2

 

x = 19

Luego

El número de automoviles rojos es 19

El número de automoviles azules es x + 9 = 19 + 9 = 28


En una clase de 80 alumnos el número de alumnos aprobados es 4 veces el número de alumnos aplazados. ¿Cuántos alumnos aprobados y cuantos alumnos aplazados hay?

Solución:

Si aceptamos que el número de alumnos aplazados es x, entonces el numero de alumnos aprobados es 4x

Luego:

Alumnos aplazados: x

Alumnos aproabados: 4x

Entonces

4x + x 80

5x = 80

x = 80/5

 

x = 16

Luego

El número de alumnos aplazados es 16

El número de alumnos aprobados es 4x = 4 · 16 = 64


Sean los contratistas A y B. El contratista A tienen 17000 bolívares más que el contratistas "B".

Si entre los dos contratistas tienen 25000 bolívares ¿Cuántos bolívares tien cada contratista?

Solución:

Aceptamos que el contratista B tienen x bolivares. Entonces el contratista A tiene (x + 17000) bolivares.

Luego:

Dinero del contratista A: x + 17000

Dinero del contratista: x

Entonces

x + x + 17000 = 25000

2x = 25000 – 17000

2x = 8000

x = 8000/2

 

x = 4000

Luego

El contratista B tiene 4000 bolivares

El contratista A tiene x + 17000 = 4000 + 17000 = 21000 bolívares

problemas (4)

ALGEBRA

PROBLEMAS DE ECUACIONES

En nuestra vida habitual se suelen presentar diversos casos en los que se nos presentan una gran cantidad de datos con la intención de que podamos deducir una información a partir de ellos. Cuando los datos que se nos proporcionan son cantidades, nos encontramos con una ecuación. Las ecuaciones cuentan con tres partes fundamentales: a) el miembros izquierdo (primer miembro). b) el miembro izquierdo (segundo miembro). c) la incógnita. d) los términos (son tanto los signos numéricos como las incógnitas).

A continuación realizaremos una series de ejercicios matemáticos en el que se necesita aplicar los procedimientos de despeje para su solución:

La adición de dos números es 120 y su diferencia es 40. Hallar los números que cumplen estas condiciones.

Solución:

Asumamos que uno de los números es "x" y que el otro número es "y". Entonces:

x + y = 120

y – x = 120

Si x + y = 120 entonces y = 120 – x

Si y – x = 40 entonces y = 40 + x

Igualando las dos ecuaciones por la variable "y", tenemos:

120 – x = 40 + x

120 – 40 – x = x

80 = x + x

80 = 2x

80/2 = x

40 = x

 

x = 40

Al sustituir x en cualquiera de las dos ecuaciones, obtenemos

y = 120 – x

y = 120 -40

y = 80

 

Los números son 40 y 80

Hallar un número sabiendo que la diferencia entre el número y su mitad es 40.

Solución:

Si asumimos que el número es x, entonces la mitad es x/2, Luego:

x – x/2 = 40

(2x – x)/2 = 40

x/2 = 40

x = 2 · 40

 

x = 80

Luego

El número es 80


Hallar dos números consecutivos cuya suma sea 51.

Solución:

Supongamos que un primer número es x, entonces el número consecutivo es (x + 1). Al sumar estos dos números el resultado debe darnos 51. Luego:

x + (x + 1) = 51

x + x + 1 = 51

2x + 1 = 51

2x = 51 – 1

2x = 50

x = 50/2

 

x = 25

Entonces:

El primer número es 25 y el consecutivo es (x +1) = 26


María tiene tres veces el número de naranjas que tiene Rosa y entre ellas dos tienen 48 naranjas ¿Cuántas naranjas tiene cada una de ellas?

Solución:

Si el número de naranjas que tiene Rosa es x, entonces el número de naranjas que tiene María es 3x. Entonces:

Naranjas de Rosa: x

Naranjas de María; 3x

Luego:

x + 3x = 40

4x = 48

x = 48/4

 

x = 12

Entonces:

Rosa tiene 12 naranjas

María tiene 3x = 3 · 12 = 36 naranjas


Hallar dos números consecutivos cuya suma sea 63.

Solución:

Asumamos que el primer número es x. Entonces, el siguiente número, es decir el consecutivo, es (x + 1).

Luego:

Primer número: x

Número consecutivo: (x + 1)

Entonces

x + (x + 1) = 63

x + x + 1 = 63

2x + 1 = 63

2x = 63 – 1

2x = 62

x = 62/2

 

x = 31

Entonces

Primer número consecutivo: 31

Segundo número consecutivo = (x +1) = 31 + 1 = 32

problemas (3)

ALGEBRA

PROBLEMAS DE ECUACIONES

En nuestra vida habitual se suelen presentar diversos casos en los que se nos presentan una gran cantidad de datos con la intención de que podamos deducir una información a partir de ellos. Cuando los datos que se nos proporcionan son cantidades, nos encontramos con una ecuación. Las ecuaciones cuentan con tres partes fundamentales: a) el miembros izquierdo (primer miembro). b) el miembro izquierdo (segundo miembro). c) la incógnita. d) los términos (son tanto los signos numéricos como las incógnitas).

A continuación realizaremos una series de ejercicios matemáticos en el que se necesita aplicar los procedimientos de despeje para su solución:

La suma de las edades de carlos y Alberto es de 14 años, si Alberto tienen 8 años menos que Carlos. Hallar ambas edades.

Solución:

Asumamos que la edad de Carlos es x, luego, entonces, la edad de Alberto es x – 8. Luego:

Edad de Carlos: x

Edad de Alberto: x – 8

Luego

x + (x – 8) = 14

x + x – 8 = 14

2x – 8 = 14

2x = 14 + 8

2x = 22

x = 22/2

 

x = 11

 

Entonces, Carlos tiene 11 años y Alberto tiene x – 8 = 3 años


José y Carlos tienen conjuntamente Bs. 10 y Carlos tiene Bs. 8 más que José ¿Cuánto tiene cada uno?

Solución:

Asumamos que José tiene Bs. x. Por tanto Carlos tiene Bs. (x + 8)

Dinero de José: x

Dinero de Carlos: (x + 8)

Entre los dos tienen Bs. 10 entonces:

x + (x + 8) = 10

x + x + 8 = 10

2x + 8 = 10

2x = 10 – 8

2x = 2

x = 2/2

 

x = 1

Si José tiene Bs 1 entonces Carlos tiene 1 + 8 = 9

Luego

José tiene Bs. 1

Carlos tiene Bs. 9


El duplo de un número más el triplo del mismo número es igual a 20. Hallar el número

Solución:

Si el número es x, entonces el duplo es 2x y el triplo es 3x. Luego

2x + 3x = 20

5x = 20

x = 20/5

 

x = 4

Luego

El número es 4


La suma de dos números es 27 y su diferencia es 7. Hallar los números.

Solución:

Asumamos que uno de los números es "x", y que el otro es "y". Entonces:

Si x + y = 27, entonces y = 27 – x

Por otro lado si y – x = 7, entonces y = x + 7

Si igualamos ambas ecuaciones a través de la variable "y", tendremos

27 – x = x + 7

27 = x + x + 7

27 = 2x + 7

27 – 7 = 2x

20 = 2x

20/2 = x

10 = x

 

x = 10

Sabiendo que y = 27 – x, entonces y = 27 – 10, de donde y = 17

Luego

Los números son 10 y 17


Hallar dos números consecutivos cuya suma sea 51.

Solución:

Supongamos que un primer número es x, entonces el número consecutivo es x + 1. Al sumarlos debe darnos 51. Luego

x + (x + 1) = 51

2x + 1 = 51

2x = 51 – 1

2x = 50

x = 50/2

 

x = 25

 

Entonces el primer número es 25 y el consecutivo es x + 1 =26

problemas (2)

ALGEBRA

PROBLEMAS DE ECUACIONES

En nuestra vida habitual se suelen presentar diversos casos en los que se nos presentan una gran cantidad de datos con la intención de que podamos deducir una información a partir de ellos. Cuando los datos que se nos proporcionan son cantidades, nos encontramos con una ecuación. Las ecuaciones cuentan con tres partes fundamentales: a) el miembros izquierdo (primer miembro). b) el miembro izquierdo (segundo miembro). c) la incógnita. d) los términos (son tanto los signos numéricos como las incógnitas).

A continuación realizaremos una series de ejercicios matemáticos en el que se necesita aplicar los procedimientos de despeje para su solución:

Cinco socios compraron una casa contribuyendo en partes iguales. Si hay un socio mas, cada uno hubiera pagado Bs. 8000 menos ¿Cuánto costó la casa?

Solución:

Sea x la cantidad que pagó cada uno de los 5 socios. Luego, con 5 socios la casa costó Bs 5x. Pero si hubiera un socio más la casa hubiera costado Bs 8000 menos es decir Bs x-8000. El costo de la casa hubiera sido en este caso 6(x-8000). Como el costo de la casa no varía entonces podemos decir que:

5x = 6(x – 8000)

5x = 6x – 48000

5x + 48000 = 6x

48000 = 6x – 5x

48000 = x

 

x = 48000

 

El costo de la casa vendrá dado por 5x. Es decir 5×48000 = 240000

Luego el costo de la casa es

Bs 240000


Si el promedio de dos números es 30 y uno de ellos es el doble del otro, calcular los números.

Solución:

Sabemos que un número es el doble del otro; así que si un número es x, el otro será 2x. Si sumamos ambos números y dividimos por dos obtendremos el promedio, es decir (2x + x)/2 = 3x/2 = promedio, pero el promedio es 30. Es decir

3x/2 = 30

3x = 2.30

3x = 60

x = 60/3

 

x = 20

Luego

Un número es 20 y el otro 40


El duplo de un número es igual al número aumentado en 15. Hallar el Número

Solución:

Sea x el número entonces el duplo es 2x. El número aumentado en 15 es x + 15. Luego:

2x = x + 15

2x – x = 15

 

x = 15

Entonces:

El número es 15


Cuatro veces un número es igual al número aumentado en 30. Hallar el número.

Solución:

Si x es el número, cuatro veces el número es 4. El número aumentado en 30 es x + 30. Luego:

4x = x + 30

4x – x = 30

3x = 30

x = 30/3

 

x = 10

Luego:

El número es 10


Hallar dos números que sumados dan 131 y restado dan 63

Solución:

Si asumimos que un número es "x" y el tro es "y" tendremos que :

x + y = 131 ==> y = 131 – x

y – x = 63 ==> y = 63 + x

131 – x = 63 + x

131 = 63 + x + x

131 – 63 = x + x

68 = 2x

2x = 68

x = 68/2

 

x = 34

Por otro lado

si x = 34

y = 63 + x

y = 63 + 34

y = 97

 

Luego, los números son 34 y 97

problemas (1)

ALGEBRA

PROBLEMAS DE ECUACIONES

En nuestra vida habitual se suelen presentar diversos casos en los que se nos presentan una gran cantidad de datos con la intención de que podamos deducir una información a partir de ellos. Cuando los datos que se nos proporcionan son cantidades, nos encontramos con una ecuación. Las ecuaciones cuentan con tres partes fundamentales: a) el miembros izquierdo (primer miembro). b) el miembro izquierdo (segundo miembro). c) la incógnita. d) los términos (son tanto los signos numéricos como las incógnitas).

A continuación realizaremos una series de ejercicios matemáticos en el que se necesita aplicar los procedimientos de despeje para su solución:

Un número más su doble es igual a 54. ¿Cuál es el número?

Solución:

Supongamos que el número es x. Entonces el doble de ese número es 2x. Luego:

x + 2x = 54

3x = 54

x = 54/3

 

x = 18

 

Luego el número es 18

La suma de tres números pares consecutivos es 246. Calcular los números.

Solución:

Asumamos que el primer número par es 2x. Entonces el siguiente es (2x + 2) y el que sigue es (2x + 4). Luego:

2x + (2x + 2) + (2x + 4) = 246

2x + 2x + 2 + 2x + 4 = 246

6x + 6 = 246

6x = 246 – 6

6x = 240

x = 240/6

 

x = 40

Luego, podemos concluir que:

El primer número es 2x = 80

El segundo número es 2x + 2 = 82

El tercer número es 2x + 4 = 84


La suma de tres números impares consecutivos es 51. Calcular los números.

Solución:

Asumamos que el primer número impar es (2x + 1). Luego, el segundo número es (2x + 3) y el tercero será (2x + 5). Entonces:

(2x + 1) + (2x + 3) + (2x + 5) = 51

2x + 1 + 2x + 3 + 2x + 5 = 51

6x + 9 = 51

6x = 51 – 9

6x = 42

x = 42/6

 

x = 7

Luego

Los números son:

2x + 1 = 2(7) + 1 = 14 + 1 = 15

2x + 3 = 2(7) + 3 = 14 + 3 = 17

2x + 5 = 2(7) + 5 = 14 + 5 = 19


En un salón de clases hay 48 alumnos. Si el número de hembras es el triple que el de varones ¿Cuántos varones y cuantas hembras hay en el salón?

Solución:

Asumamos que el número de varones es x. Entonces el número de hembras es 3x. Luego:

3x + x = 48

4x = 48

x = 48/4

 

x = 12

Luego:

El número de varones es 12

El número de hembras es 36


La suma de tres números impares consecutivos es 27. Hallar esos números.

Solución:

Asumamos que el primer número impar es 2x + 1. El segundo será 2x + 3 y el tercero será 2x + 5. Entonces:

(2x + 1) + (2x + 3) + (2x + 5) = 27

2x + 1 + 2x + 3 + 2x + 5 = 27

6x + 9 = 27

6x = 27 – 9

6x = 18

x = 18/6

 

x = 3

Luego:

El primer número es:

2x + 1 = 2(3) + 1 = 7

El segundo número es

2x + 3 = 2(3) + 3 = 9

El tercer número es

2x + 5 = 2(3) + 5 = 11