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problemas (6)

ALGEBRA

PROBLEMAS DE ECUACIONES

En nuestra vida habitual se suelen presentar diversos casos en los que se nos presentan una gran cantidad de datos con la intención de que podamos deducir una información a partir de ellos. Cuando los datos que se nos proporcionan son cantidades, nos encontramos con una ecuación. Las ecuaciones cuentan con tres partes fundamentales: a) el miembros izquierdo (primer miembro). b) el miembro izquierdo (segundo miembro). c) la incógnita. d) los términos (son tanto los signos numéricos como las incógnitas).

A continuación realizaremos una series de ejercicios matemáticos en el que se necesita aplicar los procedimientos de despeje para su solución:

Hallar el número de computadoras que hay en una empresa, sabiendo que la mitad del número de computadoras es igual a la sexta parte del número de computadoras más diez.

Solución:

Sea x el número de computadoras que existen en la empresa.

Luego

 

x/2 = x/6 + 10

x/2 = (x + 6 · 10)/6

x/2 = (x + 60)/6

6.x = 2 · (x + 60)

6x = 2x + (2 · 60)

6x = 2x + 120

6x – 2x = 120

4x = 120

x = 120/4

 

x = 30

 

En la empresa hay 30 computadoras

 


En una fábrica hay cierto número de ventiladores y otro número de extractores. La diferencia entre el número de ventiladores y el número de extractores es 20. Por otro lado, la suma del número de extractores más el número de ventiladores es 48. Hallar el número de ventiladores y el número de extractores.

Solución:

Sea "x" el número de ventiladores y "y" el número de extractores.

Luego:

x – y = 20 esto implica que x = 20 + y

Por otro lado

x + y = 48 esto implica que x = 48 – y

Igualando las dos ecuaciones a través de la variable "x" tenemos que:

 

20 + y = 48 – y

20 + y + y = 48

20 + 2y = 48

2y = 48 – 20

2y =28

y = 28/2

 

x = 14

Sustituyendo el valor de y en la ecuación x = 20 + y tenemos

x = 20 + y

x = 20 + 14

x = 34

Luego el número de ventiladores es 34 y el de extractores 14


Si al número de cierto grupo de resmas de papel se le suma 14, resulta un número que es tres veces mayor. ¿Cuántas resmas de papel hay en el grupo?

Solución:

Asumamos que el número de resmas de papel es x. Entonces:

 

x + 14 = 3x

14 = 3x – x

14 = 2x

14/2 = x

7 = x

 

x = 7

Luego

Luego, en el grupo hay 7 resmas de papel


Hay tres hoteles y en cada uno de esos hoteles hay un cierto número de turistas, sabemos que el número de turistas en cada hotel, es impar y que los números son consecutivos. Además, el total de los turistas en los tres hoteles es mayor en 5 unidades al doble del número de turistas que hay en el hotel que tiene más turistas. Indique cuantos turistas había por hotel

Solución:

Sean 2x + 1 el hotel con el menor número de turistas

2x + 3 el hotel que le sigue en número de turistas (impar consecutivo)

2x + 5 el hotel con el mayor númer de turistas.

Entonces:

(2x + 1) + (2x + 3) + (2x + 5) – 5 = 2 (2x + 5)

2x + 1 + 2x + 3 + 2x + 5 – 5 = 2 · 2x + 2 · 5

6x + 4 = 4x + 10

6x – 4x + 4 = 10

2x + 4 = 10

2x = 10 – 4

2x = 6

x = 6/2

 

x = 3

Luego

En los hoteles había

2(3) + 1 = 7 Turistas

2(3) + 3 = 9 Turistas

2(3) + 5 = 11 Turistas


Tres fábricas de ferrocarriles han construido trenes de tal manera que cada una ha fabricado un número par de trenes, pero consecutivos entre sí. Sabiendo que el número total de trenes construídos por las tres fábricas es de 54, señale cuantos trenes fabricó la fábrica que hizo el menor número de ferrocarriles.

Solución:

Digamos que una de las fábricas hizo 2x trenes, entonces las otras dos habrán fabricado (2x + 2) y (2x + 4) respectivamente, ya que los números de fabricados son pares y consecutivos entre sí

Luego:

 

2x + (2x + 2) + (2x + 4) = 54

2x + 2x + 2 + 2x + 4 = 54

6x + 6 = 54

6x = 54 – 6

6x = 48

x = 48/6

 

x = 8

Entonces:

Una fábrica hizo 2x = 2.(8) = 16 trenes.

Otra fábrica hizo 2x + 2 = 2.(8) + 2 = 18 trenes

La última fábrica hizo 2x + 4 = 2.(8) + 4 = 20 trenes

La fábrica que hizo el menor número de trenes construyó 16 trenes

problemas (5)

ALGEBRA

PROBLEMAS DE ECUACIONES

En nuestra vida habitual se suelen presentar diversos casos en los que se nos presentan una gran cantidad de datos con la intención de que podamos deducir una información a partir de ellos. Cuando los datos que se nos proporcionan son cantidades, nos encontramos con una ecuación. Las ecuaciones cuentan con tres partes fundamentales: a) el miembros izquierdo (primer miembro). b) el miembro izquierdo (segundo miembro). c) la incógnita. d) los términos (son tanto los signos numéricos como las incógnitas).

A continuación realizaremos una series de ejercicios matemáticos en el que se necesita aplicar los procedimientos de despeje para su solución:

Una cooperativa ganó 30000 bolívares en tres años. En el segundo año gano el doble de lo que habia ganado en el primer año, y en el tercer año gano tanto como en los dos años anteriores juntos. ¿Cuál fue la ganancia en cada año?

Solución:

Asumamos que la cooperativa ganó en el primer año x bolívares. Luego, en el segundo año ganó 2x. Por último, en el tercer año, la cooperativa ganó tanto como en los dos años anteriores. Es decir x + 2x = 3x. Eentonces

Ganancia de dinero en el primer año: x

Ganancia de dinero en el segundo año: 2x

Ganancia de dinero en el tercer año: 3x

Luego

 

x + 2x + 3x = 30000

6x = 30000

x = 30000/6

 

x = 5000

Entonces

La cooperativa ganó en el primer año 5000 bolivares

En el segundo año 2x = 2 · 5000 = 10000 bolivares

En el tercer año 3x = 3 · 5000 = 15000 bolivares

 


Hallar tres números consecutivos cuya suma sea 51

Solución:

Asumamos que el primer número sea x. Entonces el segundo número es x + 1 y el tercer número es x + 2

Luego:

x + (x + 1) + (x + 2) = 51

x + x + 1 + x + 2 = 51

3x + 3 = 51

3x + 3 = 51

3x = 51 – 3

3x = 48

x = 48/3

 

x = 16

Entonces

El primer número es 16

El segundo número es x + 1 = 16 + 1 = 17

El tercer número es x + 2 = 16 + 2 = 18


Tres hermanos A, B y C se tienen que repartir 35000 bolívares. El hermano B recibe el triple de lo que recibe el hermano A y el hermano C recibe el doble de lo que recibe el hermano B. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

Solución:

Sea x la cantidad de bolívares que recibe el hermano A, entonces el hermano B recibe 3x. Por tanto, el hermano C recibirá el doble de lo que recibe el hermano B, es decir 2.(3x) = 6x. Luego, la cantidad de bolívares que recibre el hermano es x, la cantidad de bolívares que recibre el hermano B es 3x la cantidad de bolívares que recibirá el hermano C es 6x.

Luego:

x + 3x + 6x = 35000

10x = 3500

x = 3500/10

 

x = 350

Luego

El hermano A recibe 350 Bolívares

El hermano B recibe 3x = 3 · 350 = 1050 bolivares

El hermano C recibe 6x = 6 · 350 = 2100 bolivares


En un taller hay 47 automoviles, unos de color azul y otros de color rojo. Hay 9 automoviles azules más que automoviles rojos¿Cuántos automoviles azules y cuántos automoviles rojos hay?

Solución:

Si asumimos que el número de automoviles rojos es x, entonces el número de automoviles azules es x + 9. Es decir:

Número de automoviles rojos : x

Número de automoviles azules: x + 9

Luego:

x + (x + 9) = 47

x + x + 9 = 47

2x + 9 = 47

2x = 47 – 9

2x = 38

x = 38/2

 

x = 19

Luego

El número de automoviles rojos es 19

El número de automoviles azules es x + 9 = 19 + 9 = 28


En una clase de 80 alumnos el número de alumnos aprobados es 4 veces el número de alumnos aplazados. ¿Cuántos alumnos aprobados y cuantos alumnos aplazados hay?

Solución:

Si aceptamos que el número de alumnos aplazados es x, entonces el numero de alumnos aprobados es 4x

Luego:

Alumnos aplazados: x

Alumnos aproabados: 4x

Entonces

4x + x 80

5x = 80

x = 80/5

 

x = 16

Luego

El número de alumnos aplazados es 16

El número de alumnos aprobados es 4x = 4 · 16 = 64


Sean los contratistas A y B. El contratista A tienen 17000 bolívares más que el contratistas "B".

Si entre los dos contratistas tienen 25000 bolívares ¿Cuántos bolívares tien cada contratista?

Solución:

Aceptamos que el contratista B tienen x bolivares. Entonces el contratista A tiene (x + 17000) bolivares.

Luego:

Dinero del contratista A: x + 17000

Dinero del contratista: x

Entonces

x + x + 17000 = 25000

2x = 25000 – 17000

2x = 8000

x = 8000/2

 

x = 4000

Luego

El contratista B tiene 4000 bolivares

El contratista A tiene x + 17000 = 4000 + 17000 = 21000 bolívares

problemas (4)

ALGEBRA

PROBLEMAS DE ECUACIONES

En nuestra vida habitual se suelen presentar diversos casos en los que se nos presentan una gran cantidad de datos con la intención de que podamos deducir una información a partir de ellos. Cuando los datos que se nos proporcionan son cantidades, nos encontramos con una ecuación. Las ecuaciones cuentan con tres partes fundamentales: a) el miembros izquierdo (primer miembro). b) el miembro izquierdo (segundo miembro). c) la incógnita. d) los términos (son tanto los signos numéricos como las incógnitas).

A continuación realizaremos una series de ejercicios matemáticos en el que se necesita aplicar los procedimientos de despeje para su solución:

La adición de dos números es 120 y su diferencia es 40. Hallar los números que cumplen estas condiciones.

Solución:

Asumamos que uno de los números es "x" y que el otro número es "y". Entonces:

x + y = 120

y – x = 120

Si x + y = 120 entonces y = 120 – x

Si y – x = 40 entonces y = 40 + x

Igualando las dos ecuaciones por la variable "y", tenemos:

120 – x = 40 + x

120 – 40 – x = x

80 = x + x

80 = 2x

80/2 = x

40 = x

 

x = 40

Al sustituir x en cualquiera de las dos ecuaciones, obtenemos

y = 120 – x

y = 120 -40

y = 80

 

Los números son 40 y 80

Hallar un número sabiendo que la diferencia entre el número y su mitad es 40.

Solución:

Si asumimos que el número es x, entonces la mitad es x/2, Luego:

x – x/2 = 40

(2x – x)/2 = 40

x/2 = 40

x = 2 · 40

 

x = 80

Luego

El número es 80


Hallar dos números consecutivos cuya suma sea 51.

Solución:

Supongamos que un primer número es x, entonces el número consecutivo es (x + 1). Al sumar estos dos números el resultado debe darnos 51. Luego:

x + (x + 1) = 51

x + x + 1 = 51

2x + 1 = 51

2x = 51 – 1

2x = 50

x = 50/2

 

x = 25

Entonces:

El primer número es 25 y el consecutivo es (x +1) = 26


María tiene tres veces el número de naranjas que tiene Rosa y entre ellas dos tienen 48 naranjas ¿Cuántas naranjas tiene cada una de ellas?

Solución:

Si el número de naranjas que tiene Rosa es x, entonces el número de naranjas que tiene María es 3x. Entonces:

Naranjas de Rosa: x

Naranjas de María; 3x

Luego:

x + 3x = 40

4x = 48

x = 48/4

 

x = 12

Entonces:

Rosa tiene 12 naranjas

María tiene 3x = 3 · 12 = 36 naranjas


Hallar dos números consecutivos cuya suma sea 63.

Solución:

Asumamos que el primer número es x. Entonces, el siguiente número, es decir el consecutivo, es (x + 1).

Luego:

Primer número: x

Número consecutivo: (x + 1)

Entonces

x + (x + 1) = 63

x + x + 1 = 63

2x + 1 = 63

2x = 63 – 1

2x = 62

x = 62/2

 

x = 31

Entonces

Primer número consecutivo: 31

Segundo número consecutivo = (x +1) = 31 + 1 = 32