ALGEBRA
PROBLEMAS DE ECUACIONES
En nuestra vida habitual se suelen presentar diversos casos en los que se nos presentan una gran cantidad de datos con la intención de que podamos deducir una información a partir de ellos.
Cuando los datos que se nos proporcionan son cantidades, nos encontramos con una ecuación. Las ecuaciones cuentan con tres partes fundamentales:
a) el miembros izquierdo (primer miembro).
b) el miembro izquierdo (segundo miembro).
c) la incógnita.
d) los términos (son tanto los signos numéricos como las incógnitas).
Por ley, el miembro izquierdo es igual al miembro derecho. Aunque generalmente están expresados de diferente manera, el valor numérico de cada miembro es el mismo. Veamos el siguiente ejemplo:
2x + 6 = x + 8
En el caso de la expresión anterior diremos que “2x + 6” es el primer miembro, “x+ 8” es el segundo miembro y el signo “=” significa “es igual a”. A los valores 2x, 6, x y 8; generalmente se les denomina términos. El caso del término “2x” debe ser visto con cuidado ya que es un producto: la incognita “x” está multiplicada por 2.
La incógnita es un valor que no conocemos y que es necesario determinar, y para ellos se debe “despejar” la incógnita. El despeje consiste en una serie de operaciones matemáticas que se aplica a la ecuación con el fin de que la incógnita quede “sola” en cualquiera de los miembros de la ecuación. Para poder realizar un despeje es necesario mover todos los términos conocidos de la ecuación a uno de los miembros de la ecuación, y todos los términos que contengan incógnitas al miembro restante. Es importante saber que al mover un término desde un miembro de la ecuación al otro, pasa efectuando la operación contraria. Es decir, si el término está en el primer miembro de la ecuación restando y deseas pasarlo al segundo miembro, debes pasarlo sumando. En el caso de que al terminar de despejar la incógnita, el término quede expresado en forma de producto, ya sea 2x, 10x, 15x o algo por el estilo, simplemente se deja la incógnita en el miembro en que esté el número que la estaba multiplicando se pasa al otro miembro dividiendo.
Veamos algunos ejemplos.
Despeje la incógnita de la siguiente ecuación:
8x + 1 = 6x + 11
Solución
Lo primero que debemos hacer es colocar los términos que contengan incógnitas en un mismo miembro de la ecuación, y los términos que no contengan incógnita en el otro miembro de la ecuación. Empecemos colocando los términos con incógnitas en el miembro izquierdo de la ecuación. En este caso, debemos “pasar” el término 6x al lado izquierdo de la ecuación, pero como esta “sumando” en el miembro derecho, debe “pasar” al miembro izquierdo “restando”. Es decir:
8x + 1 – 6x = 11
Observe que ahora el término 6x está en el miembro izquierdo de la ecuación pero restando. Ahora procedemos a pasar el término “1”, que está ubicado en el miembro izquierdo de la ecuación al miembro derecho. Pero como ese término esta sumando debe pasar restando. Efectuando la operación indicada tenemos:
8x – 6x = 11 – 1
Ahora debemos efectuar las operaciones indicadas en cada miembro. En el caso del miembro izquierdo tenemos que 8x – 6x = 2x. En el caso del miembro derecho tenemos que 11 – 1 = 10. Entonces:
2x = 10
Bien, observemos ahora que en el lado izquierdo de la ecuación tenemos la incógnita dentro del termino “2x” que es un producto. Se obtiene el valor de la incógnita pasando el valor numérico “2” al segundo miembro de la ecuación. Pero como está multiplicando, pasará efectuando la operación contraria, es decir, dividiendo. Entonces:
x = 10/2
Como 10/2 es igual a 5, entonces:
x = 5
Luego de terminar todo este proceso hemos podido averiguar el valor de x que es 5.