ALGEBRA
PROBLEMAS DE ECUACIONES
En nuestra vida habitual se suelen presentar diversos casos en los que se nos presentan una gran cantidad de datos con la intención de que podamos deducir una información a partir de ellos. Cuando los datos que se nos proporcionan son cantidades, nos encontramos con una ecuación. Las ecuaciones cuentan con tres partes fundamentales: a) el miembros izquierdo (primer miembro). b) el miembro izquierdo (segundo miembro). c) la incógnita. d) los términos (son tanto los signos numéricos como las incógnitas).
A continuación realizaremos una series de ejercicios matemáticos en el que se necesita aplicar los procedimientos de despeje para su solución:
En su automovil un padre ha recorrido 41 kilómetros de carretera, mientras que su hijo sólo ha logrado recorrer en su automovil 9 kilómetros. ¿Cuál es el mismo número de kilómetros que deben recorrer ambos, para que la distancia que recorre el padre sea el triple de la que recorra el hijo?
Solución:
Digamos que x es el número de kilómetros necesario para que la distancia que recorra el padre sea el triple de la que recorra el hijo en sus automoviles.
Luego
(x + 9): Distancia recorrida por el hijo en su automovil.
(x + 41): Distancia recorrida por el padre en su automovil y que es el triple de la recorrida por el hijo
Entonces:
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3(x + 9) = x + 41 3x + 27 = x + 41 3x – x + 27 = 41 3x – x = 41 – 27 2x = 14 x = 14/2 |
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x = 7
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Luego tanto el padre como el hijo deben recorrer 7 kilómetros para que la distancia recorrida por el padre sea el triple de la que recorra el hijo. |
El técnico "A" ha reparado el triple de televisores que el técnico "B". Cuando ambos hayan reparado 10 televisores más, el técnico "A" habrá reparado sólo el doble de los televisores que repare el técnico "B". ¿Cuántos televisores repararon los técnicos de televisión inicialmente?
Solución:
Sea x el número de televisores reparados por el técnico "A". Entonces el técnico "B" habrá reparado 3x.
Televisores reparados por técnico "B" : x
Televisores reparados por técnico "A": 3x
Si ambos técnicos reparan 10 televisores más, el técnico "A" habrá reparado el doble de televisores que el técnico "B". Luego:
Televisores reparados por técnico "B" más 10: x + 10
Televisores reparados por técnico "A" más 10: 3x + 10
Entonces:
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3x + 10 = 2(x + 10) 3x + 10 = 2x + 20 3x – 2x + 10 = 20 3x – 2x = 20 – 10 3x – 2x = 10 |
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x = 10
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Luego
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El técnico "B" reparó 10 televisores y el técnico "A" reparo 3x = 3 · 10 = 30 televisores |
El carnicero "A" tiene el cuádruple de perniles que el carnicero "B". Si ambos carniceros venden 3 perniles, el carnicero "A" tendrá el quintuple de perniles que el carnicero "B". ¿Cuántos perniles tenía inicialmente cada carnicero?
Solución:
Asumamos que el carnicero "B" tiene x perniles. Entonces el carnicero "A" tendrá 3x perniles. Si el carnicero "B" vende 3 perniles le quedarán (x – 3) perniles, y si el carnicero "A" vende 3 perniles entonces le quedarán (3x – 3) perniles.
Entonces:
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3x – 3 = 5(x – 3) 3x – 3 = 5x – 5 · 3 3x – 3 = 5x – 15 3x + 15 – 3 = 5x 3x + 12 = 5x 3x + 12 = 5x 12 = 5x – 3x 12 = 2x 12/2 = x 6 = x |
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x = 5
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Luego
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El carnicero "B" tiene 6 perniles y el carnicero "A" tiene 3x = 3 · 6 = 18 perniles |
La cantidad de casas pintadas por un pintor es el doble que la de su socio, pero si cada cada uno de los dos pintores hubiera pintado 20 casas menos, el pintor hubiera pintado el cuadruple de casas que su socio. ¿Cuántas casas pintó cada pintor?
Solución:
Si asumimos que el socio del pintor pinto x casas, entoces el pintor pinto 2x casas. Si cada uno hubiera pintado 20 casas menos, entonces el socio habría pintado (x – 20) casas y el pintor (2x – 20) casas.
Luego:
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(2x – 20) = 4(x – 20) 2x – 20 = 4x – 5 · 20 2x – 20 = 4x – 100 2x + 100 – 20 = 4x 2x + 80 =4x 80 = 4x – 2x 80 = 2x 80/2 = x 40 = x |
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x = 40
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Luego
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El socio pintó 40 casas y el pintor pinto 2x = 2 · 40 = 80 casas |
Hace 5 años la edad de un padre era el triplo de la de su hijo y dentro de 5 años será el doble ¿Cuáles son sus edades?
Solución:
La edad actual del padre será "y", y diremos que la actual del hijo será "y"
Entonces hace 5 años:
Edad del padre: x – 5
Edad del hijo y – 5
Pero hace 5 años la edad del padre era el triplo que la del hijo.
Entonces:
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(x – 5) = 3(y – 5) x – 5 = 3y – 3 · 5 x – 5 = 3y – 15 x = 3y – 15 + 5 x = 3y – 10 |
Dentro de 5 años tenemos
Edad del padre: x + 5
Edad del hijo: y + 5
Pero dentro de 5 años, la edad del padre será el doble que la del hijo, luego
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(x + 5) = 2 (y + 5) (x + 5) = 2y + 5 . 2 (x + 5) = 2y + 10 x + 5 = 2y + 10 x = = 2y + 10 – 5 x = 2y + 5 |
Igualamos ambas ecuaciones po la variable "x"
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3y – 10 = 2y + 5 3y – 2y – 10 = 5 3y – 2y = 5 + 10 y = 15 |
Sustituyendo el valor de y en cualquiera de las ecuaciones
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x = 3y – 10 x = 3 · 15 – 10 x = 45 – 10 x = 35 |
Luego
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la edad del padre es 35 años y la edad del hijo es 15 años |